есть программка для айдивайсов с осциллографом, который умеет делать преобразование Фурье. Вот и увидим.
Я кстати не вижу фундаментального отличия маятника от струны. Если выписывать уравнение для малых отклонений, то и там и там смещение будет в числителе с минусом.
ну смотри, у твоей струны есть сила с которой она натянута. Она как-то выводится через длину, сечение и модуль Юнга, но это неважно.
Вот ты взял струну массы M длины L натянутую с силой F за середину и отклонил на Х. С какой силой ее будет тянуть обратно? конечно же длина струны у нас увеличилась, это теперь 2*sqrt(L^2/4 + X^2), оно же sqrt(1+(2X/L)^2)*L
теперь разложим то что под корнем в ряд Тейлора и вспомним что Х -- мало по сравнению с L. ТО есть длина струны совсем и не увеличилась. Так что пренебрежем этиу удлинением.
В общем, взял, отклонил, ее тянет обратно с силой F два раза под углом, синус которого в точности X/L. НУ значит струна вся технично возьмет и ускорится, прямо по второму закону Ньютона:
d2X 2F
M --- = -X*--
dt2 L
или
d2X
--- = -X*(страшный коеффициент, зависящий от начальных условий)
dt2
А что маятник? висит материальная точка на веревке L в поле силы тяжести g. Отклоняем на малое смещение. вериткальное смещение есть, но это малое второго порядка. А по горизонтале ее тянет назад одним простите синусом помножить на гравитацию.
d2X X
M--- = -Mg*-
dt2 L
или
d2X
--- = -X*(страшный коеффициент, зависящий от начальных условий)
dt2
ты забыл про продольную волну, ты рассматриваешь только поперечную составляющую.
ты если свою систему пропотенцируешь, обнаружишь что часть энергии у тебя куда-то делась (если упругость не бесконечна, конечно). вот в продольную составляющую и делась.
а ты разложи в ряд простейшее уравнение струны и маятника и посмотри на коэффициенты.
для маятника начиная со второго члена они будут равны нулю. а для струны -- нет.
струна, грубо говоря, это суперпозиция большого количества малых маятников, у неё нет какого-то конкретного периода колебаний. это раз.
в маятнике масса сосредоточена в малой области, а "упругость" в широком смысле (замени обычный маятник на пружинный для понимания) -- в большой. в струне и то, и другое распределено равномерно. в этом и есть их отличие.
в целом ты прав, но на практике для малых кобеланий мой суперметод достаточно точен. То есть я получу достаточно точную оценку частоты собственных колебаний.
ты получишь сильно неточную оценку на масштабах, хоть сколь-нибудь существенно больших, чем масштаб межатомных расстояний.
природа упругости (той, с которой мы сталкиваемся, а не той, что в ядерных бомбах) по большей части электростатическая. поэтому элементарные маятники надо тоже брать в этих масштабах.
Если решить вот то дифференциальное уравнение, получится период pi*sqrt(2ML/F). Размерность та которая надо :-). И с точки зрения здравого смысла нормально: удвоенная струна будет колебаться вдвое медленее (вместе с длиной удваивается масса). И струна удвоенной толщины натянутая вдвое сильнее будет колебаться так же. ТАк что если налажал, то в коеффициенте. Какая у нас частота колебаний струны массой 1кг, длиной 1м, натянутой с силой 1Н?
налажал кстати совершенно точно, волновое уравнение != уравнение гармонических колебаний. Но если мне не изменяет память, у волнового уравнения тоже синус.
Есть одна частота и куча кратных ей. Я про эту, главную частоту. ВОобще, есть они все или нет, или есть только какие-то из них, зависит от начальных условий.
вооот, мы с этого и начали. а у маятника -- НЕ зависит.
я бы предложил всё-же оперировать длиной волны -- частота в герцах будет зависеть от неинтересных в обсуждаемом вопросе параметров (типа скорости распространения волны в среде).
то, что ты называешь главной частотой (главная длина волны) -- первая гармоника в разложении в ряд фурье. то-есть -- длина струны.
я, кстати, понял, в чём существенное различие наших способов мышления и почему мы нередко плохо понимаем друг друга. условно, ты "математик", а я -- "физик".
то-есть, тебе для того, чтобы понять эквивалентны ли явления, нужно оценивать цифры. а мне -- размерности )
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
timeasmymeasure
no subject
Date: 2011-03-21 11:41 pm (UTC)Я кстати не вижу фундаментального отличия маятника от струны. Если выписывать уравнение для малых отклонений, то и там и там смещение будет в числителе с минусом.
no subject
Date: 2011-03-21 11:42 pm (UTC)no subject
Date: 2011-03-21 11:44 pm (UTC)no subject
Date: 2011-03-21 11:48 pm (UTC)no subject
Date: 2011-03-22 12:06 am (UTC)no subject
Date: 2011-03-22 12:24 am (UTC)Вот ты взял струну массы M длины L натянутую с силой F за середину и отклонил на Х. С какой силой ее будет тянуть обратно? конечно же длина струны у нас увеличилась, это теперь 2*sqrt(L^2/4 + X^2), оно же sqrt(1+(2X/L)^2)*L
теперь разложим то что под корнем в ряд Тейлора и вспомним что Х -- мало по сравнению с L. ТО есть длина струны совсем и не увеличилась. Так что пренебрежем этиу удлинением.
В общем, взял, отклонил, ее тянет обратно с силой F два раза под углом, синус которого в точности X/L. НУ значит струна вся технично возьмет и ускорится, прямо по второму закону Ньютона:
А что маятник? висит материальная точка на веревке L в поле силы тяжести g. Отклоняем на малое смещение. вериткальное смещение есть, но это малое второго порядка. А по горизонтале ее тянет назад одним простите синусом помножить на гравитацию.
Где разница?
no subject
Date: 2011-03-22 12:30 am (UTC)ты если свою систему пропотенцируешь, обнаружишь что часть энергии у тебя куда-то делась (если упругость не бесконечна, конечно). вот в продольную составляющую и делась.
no subject
Date: 2011-03-23 08:35 pm (UTC)no subject
Date: 2011-03-23 09:05 pm (UTC)комменты закрываю, стало время отнимать и эмоции вызывать.
не люблю упрямых -- хоть и сам такой.
no subject
Date: 2011-03-21 11:58 pm (UTC)no subject
Date: 2011-03-22 12:20 am (UTC)для маятника начиная со второго члена они будут равны нулю. а для струны -- нет.
струна, грубо говоря, это суперпозиция большого количества малых маятников, у неё нет какого-то конкретного периода колебаний. это раз.
в маятнике масса сосредоточена в малой области, а "упругость" в широком смысле (замени обычный маятник на пружинный для понимания) -- в большой. в струне и то, и другое распределено равномерно. в этом и есть их отличие.
no subject
Date: 2011-03-22 12:34 am (UTC)no subject
Date: 2011-03-22 12:43 am (UTC)природа упругости (той, с которой мы сталкиваемся, а не той, что в ядерных бомбах) по большей части электростатическая. поэтому элементарные маятники надо тоже брать в этих масштабах.
no subject
Date: 2011-03-22 02:00 am (UTC)no subject
Date: 2011-03-22 02:01 am (UTC)no subject
Date: 2011-03-22 02:33 am (UTC)блин, ну нет там никакой частоты. там решение -- пучок функций. набор гармоник.
no subject
Date: 2011-03-22 02:41 am (UTC)no subject
Date: 2011-03-22 02:52 am (UTC)я бы предложил всё-же оперировать длиной волны -- частота в герцах будет зависеть от неинтересных в обсуждаемом вопросе параметров (типа скорости распространения волны в среде).
то, что ты называешь главной частотой (главная длина волны) -- первая гармоника в разложении в ряд фурье. то-есть -- длина струны.
no subject
Date: 2011-03-22 04:52 am (UTC)мне кажется, в точности наоборот. В вакууме струна будет колебаться почти так же как и в воздухе. А ножка бокала тем более.
(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:no subject
Date: 2011-03-22 02:52 am (UTC)(no subject)
From:no subject
Date: 2011-03-22 03:19 am (UTC)для однозначного описания незатухающих колебаний простого маятника достаточно одной размерности. для струны -- не менее двух.
no subject
Date: 2011-03-23 08:37 pm (UTC)no subject
Date: 2011-03-22 12:56 am (UTC)то-есть, тебе для того, чтобы понять эквивалентны ли явления, нужно оценивать цифры. а мне -- размерности )
no subject
Date: 2011-03-23 08:55 pm (UTC)no subject
Date: 2011-03-22 12:24 am (UTC)