Преподавание математики

[ermouth]

Миша Вербицкий – я когда-то уже рассыпался ему в благодарностях – накатал прекрасный пост про сабж.

Ещё более прекрасны там комменты – причём не в плане кипения говн, а в чисто прикладном, дидактическом смысле. Вот например http://lj.rossia.org/users/tiphareth/1889750.html?thread=93829846#t93829846

Цитатка оттуда:

С тором все гораздо проще: разложение в ряд Фурье есть
разложение по ортонормированному базису. Подобной простой
интерпретации у п.Ф./R нет. Разница на самом деле колоссальная,
одно можно школьнику рассказать, другое без жульничества в принципе
не делается, и нужно половина программы саймона-рида, чтобы
по человечески его сделать.

Это вот невероятно прекрасно – про то, что ряд Фурье образует ортонормированный базис. По-хорошему, с этого и правда стоило бы начинать.

Когда Миша пишет, что это может быть понятно школьнику – это нисколько не преувеличение. То-есть мы просто представляем бесконечномерное “пространство”, и каждая разложимая в ряд Фурье функция в нём – просто точка.

Представить это “бесконечномерное пространство” в такой картинке совсем несложно – достаточно наше привычное трёхмерное представлять и как оно соотносится с понятием “точка”.

Ну и сразу все базовые штуки – понятия окрестности, проекции, траектории – тоже автоматом в этом пространстве работают.

Ну вот почему мне это никто в 10 классе не рассказал?

Comments

[rezkiy.livejournal.com]

а мне рассказал препод математики, и именно в десятом классе, и именно через ортогональный басис (который путем невинной манипуляции становится отронормированным). Помогло мне это?

[ermouth.livejournal.com]

Вопрос, конечно, чисто риторический.

[archaicos.livejournal.com]

И чё там против Фурье-то восстали? Наредкость полезная весч (для расчётов электроники, DSP и ещё кое-где (криптографы без неё тоже жить не могут)). И объясняется сие преобразование на пальцах. Загадко.

[ermouth.livejournal.com]

Наложи окно на сигнал – как в реальной жизни – и попробуй на пальцах объяснить, что оно с сигналом сделает.

[archaicos.livejournal.com]

Нужно ещё несколько теорем вроде.

[ermouth.livejournal.com]

Ну да, если по-классически.

А если разложение представлять как пространство, то раз базис ортнормированный, мы можем покомпонентно складывать окно и сигнал.

То-есть это просто сложение векторов окна и сигнала в пространстве разложения.

Ещё вот фильтр в этом пространстве интересно – это поворот вектора.

[net-cat.livejournal.com]

У тебя был класс с математическим уклоном? У нас в школе ни про торы, ни про Фурье, ни тем более про многомерность пространства вообще никто никогда не говорил, этого нет в программе.

[ermouth.livejournal.com]

У меня голова была с физическим уклоном )

Ряды Фурье, топологию и абстрактные пространства в школе не проходят, да, – это и к лучшему. Но это не значит, что если ты на них натыкаешься, у тебя должны с порога заумью отбить всякое желание лезть в их «устройство».

Лучше начинать объяснения с простых и понятных аналогий – у Миши именно такая выбрана для иллюстрации подхода.

[morfizm.livejournal.com]

Мне кажется, дискретное преобразование Фурье проще понять и оно лучше доступно школьнику, причём можно подойти к этому с теории информации и кодирования сигналов. Оно описано в книжке Кнута.

Я делал для папы программку, которая определяет зубцовку марок по скану марки. Т.е. надо узнать, сколько дырочек на дюйм, это число может быть дробным, а на входе у тебя неровный край марки, который можно воспринимать как сигнал. Нужно понять, какая там доминирующая частота. Непрерывное преобразование Фурье очень похоже на бесконечное количество резонаторов, реагирующих каждый на свою частоту, и вот в этой моей задаче всего лишь нужно найти тот резонатор, который сильнее всего резонирует.

Я писал это в 2003-м, т.е. уже в универе, но я не помню, чтобы в универе я выучил хоть что-нибудь, касающееся этой задачи, чего я бы не знал в школе когда мне было лет 15.

[ermouth.livejournal.com]

Ты просто не видишь, как мне кажется, преимуществ в восприятии разложения Фурье как координат какого-то пространства.

Давай я объясню на примере.

Пусть у тебя есть эквалайзер с тремя столбиками (по идее их бесконечно много, но у нас только три). Теперь замапь каждый столбик на координату и представь себе девайс, который внутри пустого кубика двигает по этим координатам светящуюся точку. С некоторым послесвечением, как на старых CRT.

Подозреваю, что разные типы музыки будут образовывать разные фигуры, если не поверхности.

Представлять себе разложение Фурье ещё и таким способом очевидно лучше, чем только в виде столбиков.

Попробуй в этом пространстве, например, подумать как могла бы выглядеть фигура, описывающая функции третьего порядка и что с ней надо сделать, чтобы получить фигуру, описывающую производные этих полиномиальных функций.

Попробуй представить шум как распределение «вязкости» среды пространства – и в этой парадигме предсказать как будет работать канал, зашумлённый тем или иным способом.

Сразу куча всяких моделей новых появляется, которые никак вообще не следуют из «столбиков».