Задачка про лягушек и Маленького принца
Aug. 18th, 2016 11:45 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
ermouthХорошая задачка вот с международной математической олимпиады 2016 (все задачки за все года вот тут).
Задача 6. На плоскости расположено n ⩾ 2 отрезков так, что любые два из них пересекаются по внутренней точке, а никакие три из них не имеют общей точки. Иван выбирает один из концов каждого отрезка и сажает в него лягушку лицом к другому концу этого отрезка. Затем он n − 1 раз хлопает в ладоши.
При каждом хлопке каждая из лягушек немедленно прыгает вперёд в следующую точку пересечения на её отрезке. Лягушки никогда не меняют направления своих прыжков. Иван хочет изначально рассадить лягушек так, чтобы никакие две из них никогда не оказались в одной точке пересечения одновременно.
(a) Докажите, что Иван всегда может добиться желаемого, если n нечётно.
(b) Докажите, что Иван никогда не сможет достичь желаемого, если n чётно.
----
Есчо, справедливо и для построения на 2-сфере (типа Иван – Маленький принц и живёт на маленькой планетке с жабами ггг). Соответственно вместо отрезков –ортодромы дуги геодезических линий (не обязательно кратчайшие).
Задача 6. На плоскости расположено n ⩾ 2 отрезков так, что любые два из них пересекаются по внутренней точке, а никакие три из них не имеют общей точки. Иван выбирает один из концов каждого отрезка и сажает в него лягушку лицом к другому концу этого отрезка. Затем он n − 1 раз хлопает в ладоши.
При каждом хлопке каждая из лягушек немедленно прыгает вперёд в следующую точку пересечения на её отрезке. Лягушки никогда не меняют направления своих прыжков. Иван хочет изначально рассадить лягушек так, чтобы никакие две из них никогда не оказались в одной точке пересечения одновременно.
(a) Докажите, что Иван всегда может добиться желаемого, если n нечётно.
(b) Докажите, что Иван никогда не сможет достичь желаемого, если n чётно.
----
Есчо, справедливо и для построения на 2-сфере (типа Иван – Маленький принц и живёт на маленькой планетке с жабами ггг). Соответственно вместо отрезков –