Джон Нэш и неподвижная точка

Благодаря https://nplus1.ru/news/2015/05/25/nash мне попался на глаза оригинал доказательства существования точки равновесия в играх с ненулевой суммой.

Оно выглядит так (клик – PDF с работой):

Соотнесение некоторых терминов типа “product space” с, например, теорией множеств можно посмотреть в моём старом посте про HoTT, там табличка есть. Это, возможно, несколько облегчит понимание.

Вообще, однократного внимательного чтения этих четырёх абзацев достаточно, чтобы понять идею доказательства. Я бы сказал, что это доказательство в одно соображение.

Теорему Какутани о неподвижной точке можно посмотреть в Вики, она достаточно понятна. Упрощённый механистический смысл этой теоремы – если какая-то сущность выпукла, у неё есть точка равновесия, лежащий внутри этой сущности.

Нэш – в одно соображение – распространил эту теорему на набор стратегий и функций, мапящих стратегии на “размер” выигрыша в результате их применения.

В силу того, что стратегии нескольких игроков соотносятся друг с другом как “каждый с каждым”, они образуют выпуклую сущность (выпуклое множество). Значит, у этой сущности есть точка равновесия, лежащая внутри сущности.

Это можно объяснить даже школьникам. Очень красивое и простое доказательство, жаль, что я никогда не доходил до него раньше.

Джон Форбс Нэш погиб на днях, возвращаясь с церемонии вручения премии Абеля – он стал первым, кто получил и Нобелевку, и Абеля. Нэша убил таксист, не справившийся с управлением.

RIP, Джон Нэш.