> не собирался доказывать, что перестановок именно n!
Я недостаточно корректное слово употребил. Не доказывать, а вывести, конечно. Нет, не сможешь.
> Я не настолько ориентируюсь в физике > я бы посмотрел газы, звук, электричество или маятники
Зато я прекрасно ориентируюсь ) Твои догадки, куда надо смотреть – они, в общем, верные – вот только если ты действительно попробуешь это сделать, ты будешь удивлён. Возможно, даже очень удивлён.
Я сделаю несколько подсказок на условно простом примере, который несложно представить. (Прошу понимать, что текст дальше – это сильное упрощение и огрубление).
Давай возьмём набор из достаточно большого количества шариков одинаковых размеров. Пусть, для простоты, это будет бильярдный стол, но без лунок. Для ещё бóльшей простоты пусть шарики, когда перемещаются, не крутятся – чтобы исключить некоторые степени свободы. То-есть, превратим шарики в плоские диски – как в аэрохоккее.
Мы даже ещё упростим. Мы сделаем наш стол круглым и такого диаметра, что его можно плотно равномерно дисками замостить. Также мы выкинем единственную оставшуюся вращательную степень свободы – предпложим, что о стенки и друг о друга диски ударяются абсолютно упруго, без трения.
Если подумать, в какой размерности пространстве в самом деле живут эти диски, если они не покоятся (без вращательной компоненты), ты придёшь к удивительному на первый взгляд выводу. Это пространство – нецелой размерности.
Причём чем больше будет дисков на столе, тем меньше двух будет получаться размерность. Если ты замостишь стол полностью, у тебя останется только одно измерение (одновременно повернуть весь массив дисков).
Физический смысл тут довольно просто представить – равномерно вначале движущийся диск пройдёт совсем не то расстояние (не путь, а именно расстояние, а ещё точнее перемещение), которое нам предсказывает школьная механика. Перемещение будет меньше, потому что, упрощённо говоря, нашему диску доступны не все направления движения. Он живёт не в двумерном пространстве.
Как только ты попробуешь применить к нашему диску школьные формулы, ты неожиданно обнаружишь, что не можешь этого сделать – тебе станут нужны какие-то очень странные сущности, типа «нелинейного» времени или пространства. И как только ты это поймёшь, тебе быстро захочется в уравнении движения иметь не только, скажем, первую и вторую производные – а ещё, условно, «полуторные» (нецелые).
И только ты начнёшь решать всю эту кухню, практически любым из способов из обычной программы универа, ты обнаружишь, что тебе нужны производные всё более и более высоких порядков, чтобы учесть вклад некоего параметра, характеризующего связность системы. Также ты быстро заметишь, что на каждом шаге в знаменателе ты будешь получать число, равное произведению предыдущего знаменателя на номер шага.
Это у тебя вылезла гамма-функция. Она, в некотором смысле, характеризует и обобщает понятие связности элементов динамической системы.
----
Теперь примени тот-же подход для систем, живущих в пространстве с целой размерностью – то-есть школьные, несвязные или абсолютно связные системы. Ты быстро обнаружишь, что генерализовать факториал не получается – тебе не сделать больше определённого, конечного и весьма небольшого количества шагов (сопоставимого с к-вом элементов системы, а гораздо чаще – и вовсе с к-вом измерений), потому что числители начнут обращаться в ноль.
Также ты обнаружишь, что для иллюстрации «следующего» целого факториала тебе придётся придумывать всё более сложный и искусственный пример, а потом очень длинно объяснять свои манипуляции и их физический смысл.
Я не вижу, как таким дидактическим подходом можно что-то вывести обобщённо. Несопоставимо проще ввести факториал напрямую через нефизическое понятие перестановок, затем ввести вероятность, а потом показать её физический смысл на примерах.
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
timeasmymeasure
no subject
Date: 2016-08-15 05:04 am (UTC)Я недостаточно корректное слово употребил. Не доказывать, а вывести, конечно. Нет, не сможешь.
> Я не настолько ориентируюсь в физике
> я бы посмотрел газы, звук, электричество или маятники
Зато я прекрасно ориентируюсь ) Твои догадки, куда надо смотреть – они, в общем, верные – вот только если ты действительно попробуешь это сделать, ты будешь удивлён. Возможно, даже очень удивлён.
Я сделаю несколько подсказок на условно простом примере, который несложно представить. (Прошу понимать, что текст дальше – это сильное упрощение и огрубление).
Давай возьмём набор из достаточно большого количества шариков одинаковых размеров. Пусть, для простоты, это будет бильярдный стол, но без лунок. Для ещё бóльшей простоты пусть шарики, когда перемещаются, не крутятся – чтобы исключить некоторые степени свободы. То-есть, превратим шарики в плоские диски – как в аэрохоккее.
Мы даже ещё упростим. Мы сделаем наш стол круглым и такого диаметра, что его можно плотно равномерно дисками замостить. Также мы выкинем единственную оставшуюся вращательную степень свободы – предпложим, что о стенки и друг о друга диски ударяются абсолютно упруго, без трения.
Если подумать, в какой размерности пространстве в самом деле живут эти диски, если они не покоятся (без вращательной компоненты), ты придёшь к удивительному на первый взгляд выводу. Это пространство – нецелой размерности.
Причём чем больше будет дисков на столе, тем меньше двух будет получаться размерность. Если ты замостишь стол полностью, у тебя останется только одно измерение (одновременно повернуть весь массив дисков).
Физический смысл тут довольно просто представить – равномерно вначале движущийся диск пройдёт совсем не то расстояние (не путь, а именно расстояние, а ещё точнее перемещение), которое нам предсказывает школьная механика. Перемещение будет меньше, потому что, упрощённо говоря, нашему диску доступны не все направления движения. Он живёт не в двумерном пространстве.
Как только ты попробуешь применить к нашему диску школьные формулы, ты неожиданно обнаружишь, что не можешь этого сделать – тебе станут нужны какие-то очень странные сущности, типа «нелинейного» времени или пространства. И как только ты это поймёшь, тебе быстро захочется в уравнении движения иметь не только, скажем, первую и вторую производные – а ещё, условно, «полуторные» (нецелые).
И только ты начнёшь решать всю эту кухню, практически любым из способов из обычной программы универа, ты обнаружишь, что тебе нужны производные всё более и более высоких порядков, чтобы учесть вклад некоего параметра, характеризующего связность системы. Также ты быстро заметишь, что на каждом шаге в знаменателе ты будешь получать число, равное произведению предыдущего знаменателя на номер шага.
Это у тебя вылезла гамма-функция. Она, в некотором смысле, характеризует и обобщает понятие связности элементов динамической системы.
----
Теперь примени тот-же подход для систем, живущих в пространстве с целой размерностью – то-есть школьные, несвязные или абсолютно связные системы. Ты быстро обнаружишь, что генерализовать факториал не получается – тебе не сделать больше определённого, конечного и весьма небольшого количества шагов (сопоставимого с к-вом элементов системы, а гораздо чаще – и вовсе с к-вом измерений), потому что числители начнут обращаться в ноль.
Также ты обнаружишь, что для иллюстрации «следующего» целого факториала тебе придётся придумывать всё более сложный и искусственный пример, а потом очень длинно объяснять свои манипуляции и их физический смысл.
Я не вижу, как таким дидактическим подходом можно что-то вывести обобщённо. Несопоставимо проще ввести факториал напрямую через нефизическое понятие перестановок, затем ввести вероятность, а потом показать её физический смысл на примерах.